תכונות של אינטגרלים כפולים:

• לינאריות:
  • $${\iint }_D(f+\alpha \cdot g)dxdy={\iint }_{D}fdxdy+\alpha {\iint }_{D}gdxdy$$
• מקרה מיוחד:
  • $${\iint }_{D}1dxdy=\text{Area}(D)$$
• פיצול לתת תחומים:
  • אם $D=D_1\cup D_2$ כאשר שני תת התחומים קבוצות סגורות, חסומות וזרות (פרט לחיתוך על השפה).
  • $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D_1}f(x,y)dxdy+{\iint }_{D_2}f(x,y)dxdy$$
• מונוטוניות:
  • אם $g\le f$ ב -D
  • $${\iint }_{D}gdxdy\le {\iint }_{D}fdxdy$$
• הערה:
  • הרעיון הכללי של אינטגרל כפול הוא שהחישוב מתבצע עבור מסה כוללת, כאשר D הוא הלוח, ו - f היא פונ' הצפיפות.
• מונחים נוספים:
  • מרכז כובד / מסה:
    • אם f קבועה אז מרכז המסה = מרכז התחום ובאופן כללי מרכז המסה:
    • $\overline{x}={\iint }_{D}x\cdot f(x,y)dxdy$
    • $\overline{y}={\iint }_{D}y\cdot f(x,y)dxdy$

אינטגרל של פונ' בשלושה משתנים:

• במימד אחד התחום הוא: $D=[a,b]\subseteq \mathbb{R}$

• בשני מימדים התחום הוא: $D=[a,b]\times [c,d]\subseteq {\mathbb{R}}^2$

• בשלושה מימדים התחום הוא: $D=[a,b]\times [c,d]\times [e,f]\subseteq {\mathbb{R}}^3$

• חישוב האינטגרל:

  • מקרה 1:
    • כאשר התחום הוא מהסוג: $D=\{(x,y,z)\mid a\le x\le b,c\le y\le b,e\le z\le f\}$
    • האינטגרל יראה מהצורה:
    • $${\iiint }_{D}fdV={\int }_e^f{\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y,z)dxdydz$$
  • מקרה 2:
    • צורה 1:
      • כאשר התחום הוא מהסוג: $D=\{(x,y,z)\mid e\le z\le f,(x,y)\in D_z\}$
      • האינטגרל יהיה מהצורה:
      • $${\iiint }_{D}fdV={\int }_e^f[{\iint }_{D_z}f(x,y,z)dxdy]dz$$
    • צורה 2:
      • כאשר התחום הוא מהסוג: $D=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,{\varphi }_1(x,y)\le z\le {\varphi }_2(x,y)\}$
      • האינטגרל יהיה מהצורה: $$\iiint_D f dV = \iint_D \left[ \int_{\phi_1(x,y)}^{\phi_2(x,y)} f(x,y,z) dz \right] dx dy$$

משפט החלפת משתנים:

• עבור החלפת משתנים מהצורה:

• שמשנה את התחום מ - D ל D* כאשר:

• נוכל להגיד ש:

• $${\iiint }_{D}fdxdydz={\iiint }_{D^{\ast }}f\cdot |J|dudvdw$$

• החלפת משתנים גלילית:

  • $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$$
  • $$J=r$$

• החלפת משתנים כדורית:

  • $$\{\begin{array}{l}x=\rho \cdot \sin (\phi )\cdot \cos (\theta )\\ y=\rho \cdot \sin (\phi )\cdot \sin (\theta )\\ z=\rho \cdot \cos (\phi )\end{array}$$

- כאשר $\mathrm{\Theta }$ הזווית על הרצפה (על Z = 0), $\phi$ הזווית שנוצרת עם ציר ה - Z, ו - $\rho$ הוא המרחק.
- ומתקיים: $|J|={\rho }^2\cdot \sin (\phi )$ (ואם ישנם גם מקדמים לצירים a,b,c אז הם יתווספו כמכפלה לפני הסינוס).